Question

19．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值-1，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调区间，即可得到极值，进而求得a；
（Ⅱ）求出函数G（x）的导数，由于G（x）在区间（0，1）上为增函数，可得-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$≥0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可求得最小值，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）x＞0，F′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；
当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{a}$，由F′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，
x=$\frac{1}{a}$取得极小值．
由F（x）有极值-1，即有1-ln$\frac{1}{a}$=-1，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
G′（x）=-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$，G（x）在（0，1）上递增，
即有-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$在（0，1）上恒成立．
令h（x）=xcos（1-x），0＜x＜1，
h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1-x）＜1，
即有$\frac{1}{xcos（1-x）}$＞1，
则有a≤1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．