题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设 $数学公式$ 取最小值时，求 $数学公式$ 值．

解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC
化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC
∴2sinA•cosB=sin（B+C）
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA
∴2sinA•cosB=sinA，得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
得到：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取最小值
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据向量的运算法则，表示出 $\text{[math]}$ ，进而根据二次函数的性质求得当cosA为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 最小，进而利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，向量的基本运算，正切的两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．