Question

已知P为抛物线y=

1

4

x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值是

5

-1

．

Answer 1

分析：求出抛物线焦点为F（0，1），准线为y=-1，延长PM交准线于N，连接PF，由抛物线定义得|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1，根据三角形两边之和大于第三边，得当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，由此即可求得|PA|+|PM|的最小值．

解答：解：抛物线y=

1

4

x2化成标准形式为x²=4y，
得它的焦点为F（0，1），准线为l：y=-1
延长PM交准线于N，连接PF，根据抛物线的定义，得
|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1
∵△PAF中，|PA|+|PF|＞|AF|
∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值
∵|AF|=

22+12

=

5

∴|PA|+|PM|的最小值为

5

-1
故答案为：

5

-1

点评：本题给出抛物线上动点，求该点到定点与抛物线准线的距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．