题目内容
(本小题满分12分)
已知 是各项都为正数的数列,其前
项和为
,且满足
.
(Ⅰ)求,
,
的值;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)令=
,求证
.
(Ⅰ)=1,
,
(Ⅱ)
(Ⅲ)证明见解析。
解析(Ⅰ)解:(I)令,则有
舍去).
令,得
,即
.
∴(舍去负值).
同理,令可解得
. 3分
(Ⅱ)解法一:(可猜想通项公式并用数学归纳法证明,略)
解法二:∵,① 又
≥2时有
,代入①式并整理得
=1.∴
是首项为1,公差为1的等差数列. 6分
∴,∴
(
≥2),又
∴.
8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知…+
≤1+
…
=1+1-…+
.
即.
12分

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