题目内容
20．已知函数f（x）=|x-5|+|x-3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥m．
分析 （Ⅰ）利用f（x）=|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．
解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）[${1}^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$]≥（$\frac{1}{a}×1+\frac{\sqrt{2}}{b}×\frac{1}{\sqrt{2}}$）2=3，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）×$\frac{3}{2}$≥（$\sqrt{3}$）2，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥2．…（7分）
点评 本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
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10．已知 F1，F2分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点p在双曲线的右支上，且$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$（O为坐标原点），若$|{\overrightarrow{{F_1}P}}|=\sqrt{2}|{\overrightarrow{{F_2}P}}$|，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$ |
8．若O是△ABC的重心，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，A=120°，则|$\overrightarrow{AO}$|的最小值为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
12．如果随机变量ξ～N（2，3），且P（ξ≤m）=P（ξ＞m），则m=（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$ |