题目内容
双曲线

(Ⅰ)求双曲线的离心率e;
(Ⅱ)若此双曲线过

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上),过D1的直线l交双曲线于点M、N,

【答案】分析:(Ⅰ)
四边形F2ABO是平行四边形,由
=0,知平行四边形F2ABO是菱形.由此能求出双曲线的离心率e.
(Ⅱ)由
b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为
,把点
代入得a2=3,由此能求出双曲线方程.
(Ⅲ)D1(0,-3),D2(0,3),设l的方程为y=kx-3,M(x1,y1),N(x2,y2),由
,因l与与双曲线有两个交点,再由根的判别式和韦达定理进行求解.
解答:
解:(Ⅰ)
四边形F2ABO是平行四边形,
∴
=0,即
=0,
∴
,
∴平行四边形F2ABO是菱形.
如图,则r2=d1=c,r1=2a+r2=2a+c,
由双曲线定义得r1=d1e⇒2a+c=ce⇒e2-e-2=0,
∴e=2(e=-1舍去)(3分)
(Ⅱ)由
b2=c2-a2=3a2,
双曲线方程为
,
把点
代入有得a2=3,
∴双曲线方程
.(6分)
(Ⅲ)D1(0,-3),D2(0,3),
设l的方程为y=kx-3,M(x1,y1),N(x2,y2)
则由
,
因l与与双曲线有两个交点,∴3-k2≠0.
∵
,
,
△=36k2+4×18(3-k2)>0(8分)
∴
,
y1•y2=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=9
,
,
⇒x1•x2+y1•y2-3(y1+y1)+9=0
∴
k2=5,
满足△>0,
∴
(11分)
故所求直线l方程为
(13分)
点评:本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法,求直线方程.主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.


(Ⅱ)由



(Ⅲ)D1(0,-3),D2(0,3),设l的方程为y=kx-3,M(x1,y1),N(x2,y2),由

解答:


∴


∴

∴平行四边形F2ABO是菱形.
如图,则r2=d1=c,r1=2a+r2=2a+c,
由双曲线定义得r1=d1e⇒2a+c=ce⇒e2-e-2=0,
∴e=2(e=-1舍去)(3分)
(Ⅱ)由

双曲线方程为

把点

∴双曲线方程

(Ⅲ)D1(0,-3),D2(0,3),
设l的方程为y=kx-3,M(x1,y1),N(x2,y2)
则由

因l与与双曲线有两个交点,∴3-k2≠0.
∵


△=36k2+4×18(3-k2)>0(8分)
∴

y1•y2=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=9



∴

满足△>0,
∴

故所求直线l方程为

点评:本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法,求直线方程.主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

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