题目内容

已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a为常数.
(I)当x∈[1,+∞)时,f'(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(II)求g(x)=f′(x)-
axx+1
的单调区间.
分析:(I)先把f'(x)=ln(1+x)+
x
1+x
-a>0转化为a<ln(1+x)+
x
1+x
,再利用导函数研究出不等式右边的单调性,进而求出其最值即可求出实数a的取值范围;
(II)先求出函数g(x)的导函数,分情况得到导函数值为正和为负对应的变量的取值范围,进而求出其单调区间.
解答:解:(I)由f'(x)=ln(1+x)+
x
1+x
-a>0
得a<ln(1+x)+
x
1+x

令h(x)=ln(1+x)+
x
1+x
,则h'(x)=
1
1+x
+
1
(1+x) 2

当x∈[1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在[1,+∞)上递增,
∴a<h(1)=
1
2
+ln2.
∴实数a的取值范围是(-∞,
1
2
+ln2).
(II)g(x)=ln(1+x)+
(1-a)x
x+1
-a,x∈(-1,+∞)
则g'(x)=
1
1+x
-
1-a
(x+1) 2
=
x+2-a
(x+1)2

①当a>1时,x∈(-1,a-2),g'(x)<0,g(x)是减函数,
x∈(a-2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)是增函数.
②当a≤1时,x∈(-1,+∞),g'(x)>0,g(x)是增函数.
所以:当a>1时,减区间为(-1,a-2),增区间为(a-2,+∞);
当a≤1时,增区间为(-1,+∞).
点评:本题第二问主要研究利用导数研究函数的单调性.利用导数研究函数的单调性时,一般结论是:导数大于0对应区间为原函数的递增区间;导数小于0对应区间为原函数的递减区间.
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