题目内容

3．下列命题：
①一条直线在平面上的射影一定是直线；
②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；
③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；
④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等．
其中所有真命题的序号是④．

分析 对四个命题分别分析解答；注意特殊情况．

解答 解：对于①，当直线与平面垂直是，此直线在平面上的射影是一个点；故①错误；
对于②，如果两个平面垂直，其中一个平面在另一个平面上的射影是一条直线，故在平面上的射影是直线的图形一定是直线是错误的；
对于③，两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线相交、异面或者平行；故③错误；
对于④，两条平行直线，根据线面所成角的定义可以判断它们与同一个平面所成角一定相等；故④正确；
故答案为：④．

点评 本题考查了图形 的射影；考查了学生的空间想象能力．

练习册系列答案
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4．设n∈R，函数fn（x）=xn|x-a|（x≠a），其中a≥0
（1）求函数f2（x）的极值；
（2）设一直线与函数f3（x）的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜a．x12+x22=1，求a的值
（3）当a=0时，数列ak=f0（k），k∈N+．对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bn}满足$\frac{{b}_{k+1}}{{b}_{k}}=\frac{k-n}{{a}_{k+1}}$（k=1，2，…，n-1），b1=1，求b1+b2+…+bn．
14．设函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，使得对于任意x∈D，有（x+k）∈D，且f（x+k）≥f（x），则称f（x）是D上的“k级增函数”．
（1）试判断函数f（x）=sinx是否为R上的“k级增函数”？请说明理由；
（2）试证明：对任意的实数k∈（0，4），函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x≥0）}\\{{-x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$不是R上的“k级增函数”；
（3）已知奇函数g（x）是R上的“4级增函数”，且当x≥0时，g（x）=|x-a2|-a2，求实数a的取值范围．
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC上的点，且PM=2MC．
（1）求证：AD⊥PB；
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18．如图正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，P为侧棱SD上靠近D的三等分点，
（1）若SD⊥PC，求正四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在请找到点E并求SE：EC的比值，若不存在请说明理由．
8．已知数列{an}各项均不相等，满足an+an-2=2an-1（n≥3，n∈N+），其前3项的和为9，且a4+1是a2+1与a8+1的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn+1-bn=an（n∈N+），且b1=-1，求数列$\frac{1}{{b}_{n}+3n}$的前n项和Tn．
15．如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）
A．AC⊥平面ABB1A1B．CC1与B1E是异面直线
C．A1C1∥B1ED．AE⊥BB1
12．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；
（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．
13．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AD}$（0≤λ≤$\frac{1}{2}$），则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

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