题目内容
【题目】函数
(1)当时,求函数
的定义域;
(2)若,请判定
的奇偶性;
(3)是否存在实数,使函数
在
递增,并且最大值为1,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)定义域为;(2)奇函数;(3)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)当时,函数
的定义域为
,
;(2)
,函数
的定义域为
,即
,关于原点对称,又
,所以函数
为奇函数;(3)假设存在,设
,由于
,所以
在区间
上单调递减,若底数
,根据复合函数单调性可知,函数
在区间
上单调递减,不符合题意,若底数
,根据复合函数单调性可知,函数
在区间
上单调递增,所以当
时,取得最大值1,即
,
,所以
,符合题意.
试题解析:(1)由题意:,
,即
,
所以函数的定义域为
.
(2)易知,
∵,且
,∴
,关于原点对称,
又∵=
,
∴=-
=-
,
∴为奇函数.
(3)令,
,
在
上单调递减,
又∵函数在
递增, ∴
,
又函数
在
的最大值为1,
,
即,
.
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