Question

【题目】设函数，，其中，.
（Ⅰ）若函数在处有极小值，求，的值；
（Ⅱ）若，设，求证：当时，；
（Ⅲ）若，，对于给定，，，，，其中，，，若.求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导函数，再由可得结果；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，求出 的最大值，在利用绝对值不等式结论证明；（Ⅲ）讨论三种情况，可得、不合题意，只有符合题意.

试题解析：Ⅰ） ，由已知可得，

解得或.

当时， ， 是的极小值点.

当时， ， 是的极大值点，故舍去.

所以， .

（Ⅱ）

因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

于是， 在上的最大值在两端点处取得，

即.

于是 ，

故.

（Ⅲ）

所以，当时， ，所以在上单调递减.

①当时， ，

，

，

因为在上单调递减，所以，

且.

因此， 成立， 符合题意.

②当时， ，

，

于是 .

所以 ， 不符合题意.

③时， ，

，

.

所以 ， 不符合题意.

综上， .