题目内容

已知函数数学公式,满足f(2)=-2,
(1)求实数m的值;
(2)判断y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若关于x的方程f(x)=kx有三个不同实数解,求实数k的取值范围.

解:(1)由f(2)=-2,m>0?,m>0,解得m=1.
(2)由(1)可知:m=1,∴
因此只研究函数f(x)==在区间(-∞,0]上的单调性即可.
此函数在区间(-∞,0]上单调递增.
证明:设x1<x2≤0,
则f(x1)-f(x2)==
∵x1<x2≤0,∴x1-x2<0,4-x1>0,4-x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在(-∞,0]上单调递增.
(3)原方程即为(*)
①当x=0时,方程成立,即x=0是方程(*)的一个实数根;
②当x<0时,方程(*)?,x<0?<0?
即当时,方程(*)在区间(-∞,0)有唯一一个实数根,此外无解;
③当x>0且x≠4时,方程(*)?,x>0且x≠4?x=>0,解得或k>0.
时,方程(*)在区间(0,+∞)有一个实数根,此外无解.
综上可知:要使原方程有三个不同实数根,当且仅当k满足原方程在(-∞,0)和(0,+∞)
各有一个实数解时才成立,此时,
∴实数k的取值范围为
分析:(1)利用f(2)=-2即m>0即可求出;
(2)利用(1)先求出其解析式及单调区间,再利用定义证明即可;
(3)通过对x分别就x>0、x=0、x<0三种情况的解的情况讨论即可.
点评:熟练掌握函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键.
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