Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

（x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

+

1

x

，
∴φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴x=4时，φ（x）_min=2ln2-

5

4

；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化为x²=

3

2

-

a

x

，∴a=

3

2

x-x³，
设y=

3

2

x-x³，则y′=

3

2

-3x²，
∵x∈[

1

2

，1]
∴函数在[

1

2

，

2

2

]上单调递增，在[

2

2

，1]上单调递减
∵x=

1

2

时，y=

5

8

；x=

2

2

时，y=

2

2

；x=1时，y=

1

2

，
∴y∈[

1

2

，

2

2

]
∴a∈[

1

2

，

2

2

]

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．