题目内容
(2012•江苏)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则
的取值范围是
b | a |
[e,7]
[e,7]
.分析:由题意可求得
≤
≤2,而5×
-3≤
≤4×
-1,于是可得
≤7;由c ln b≥a+c ln c可得0<a≤cln
,从而
≥
,设函数f(x)=
(x>1),利用其导数可求得f(x)的极小值,也就是
的最小值,于是问题解决.
1 |
4 |
c |
a |
c |
a |
b |
a |
c |
a |
b |
a |
b |
c |
b |
a |
| ||
ln
|
x |
lnx |
b |
a |
解答:解:∵4c-a≥b>0
∴
>
,
∵5c-3a≤4c-a,
∴
≤2.
从而
≤2×4-1=7,特别当
=7时,第二个不等式成立.等号成立当且仅当a:b:c=1:7:2.
又clnb≥a+clnc,
∴0<a≤cln
,
从而
≥
,设函数f(x)=
(x>1),
∵f′(x)=
,当0<x<e时,f′(x)<0,当x>e时,f′(x)>0,当x=e时,f′(x)=0,
∴当x=e时,f(x)取到极小值,也是最小值.
∴f(x)min=f(e)=
=e.
等号当且仅当
=e,
=e成立.代入第一个不等式知:2≤
=e≤3,不等式成立,从而e可以取得.等号成立当且仅当a:b:c=1:e:1.
从而
的取值范围是[e,7]双闭区间.
∴
c |
a |
1 |
4 |
∵5c-3a≤4c-a,
∴
c |
a |
从而
b |
a |
b |
a |
又clnb≥a+clnc,
∴0<a≤cln
b |
c |
从而
b |
a |
| ||
ln
|
x |
lnx |
∵f′(x)=
lnx-1 |
(lnx)2 |
∴当x=e时,f(x)取到极小值,也是最小值.
∴f(x)min=f(e)=
e |
lne |
等号当且仅当
b |
c |
b |
a |
b |
a |
从而
b |
a |
点评:本题考查不等式的综合应用,得到
≥
,通过构造函数求
的最小值是关键,也是难点,考查分析与转化、构造函数解决问题的能力,属于难题.
b |
a |
| ||
ln
|
b |
a |
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