题目内容

设函数f（x）=
x2+1
，对任意x1，x2∈R，恒有|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|＜M，其中M是常数，则M的最小值是
 
．
分析：|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|的取值范围等价于函数f（x）=
x2+1
切线斜率绝对值的取值范围，然后利用导数研究函数f（x）切线斜率绝对值的取值范围，从而求出所求．
解答：解：|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|的取值范围等价于函数f（x）=
x2+1
切线斜率绝对值的取值范围，
而f（x）=
x2+1
，
∴f′（x）=
x
x2+1
，
∴|f′（x）|=
|x|
x2+1
=
1
1+
1
x2
≤1（当且仅当x=±1时取等号），
∴M≥1，M的最小值是1．
故答案为：1．
点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．
设函数f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是
 
．
设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=
1x+1
）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范围．
设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，求实数m的值；
（2）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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