Question

20.给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：

首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；

然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂;如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、…,直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止.

（Ⅰ）判断r₁,r₂,…,r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；

（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明r_n－1＞;

（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11.

Answer 1

20.主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）r₁≤r₂≤…≤r_N.除第N组外的每组至少含有=3个数.

（Ⅱ）当第n组形成后，因为n＜N,所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r_n.余下数之和也大于第n组的余差r_n,即L－［（150－r₁）+（150－r₂）+…+（150－r_n）］＞r_n,

由此可得r₁+r₂+…+r_n－1＞150n－L.

因为（n－1）r_n－1≥r₁+r₂+…+r_n－1,所以r_n－1＞.

（Ⅲ）用反证法证明结论.假设N＞11,即第11组形成后，还有数没分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r₁₁,且r₁₁≥r₁₀,

故余下的每个数＞r₁₁≥r₁₀＞=37.5.（*）

因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5.

此时第11组的余差r₁₁=150－第11组数之和＜150－112.5=37.5,

这与（*）式中r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11.