题目内容
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止．（Ⅰ）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1＞
| 150n-L | n-1 |
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．
分析：（I）由r1≤r2≤≤rN，知除第N组外的每组至少含有
=3个数．
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn，由此可得r1+r2+…+rn-1＞150n-L
，从而能够证明rn-1＞
．
（III）假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，余下的每个数＞r11≥r10＞
=37.5，因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5，r11＜37.5，与r11＞37.5矛盾，所以N≤11．
| 150 |
| 50 |
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn，由此可得r1+r2+…+rn-1＞150n-L
，从而能够证明rn-1＞
| 150n-L |
| n-1 |
（III）假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，余下的每个数＞r11≥r10＞
| 150×11-1275 |
| 10 |
解答：解：（I）r1≤r2≤≤rN．除第N组外的每组至少含有
=3个数
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第n组的余差rn，即L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn
由此可得r1+r2++rn-1＞150n-L
因为（n-1）rn-1≥r1+r2++rn-1，所以rn-1＞
（III）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10
故余下的每个数＞r11≥r10＞
=37.5（*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5
此时第11组的余差r11=150-第11组数之和＜150-112.5=37.5
这与（*）式中r11＞37.5矛盾，所以N≤11．
| 150 |
| 50 |
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第n组的余差rn，即L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn
由此可得r1+r2++rn-1＞150n-L
因为（n-1）rn-1≥r1+r2++rn-1，所以rn-1＞
| 150n-L |
| n-1 |
（III）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10
故余下的每个数＞r11≥r10＞
| 150×11-1275 |
| 10 |
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5
此时第11组的余差r11=150-第11组数之和＜150-112.5=37.5
这与（*）式中r11＞37.5矛盾，所以N≤11．
点评：本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
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