题目内容
给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1 275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:?首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第一组余差；?
然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…,直至第N组(余差为rn)把这些数全部分完为止.?
(1)判断r1,r2,…,rn的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数；?
(2)当构成第n(n＜N)组后,指出余下的每个数与rn的大小关系,并证明
(3)对任何满足条件T的有限个正数,证明N≤11.
解析:(1)r1≤r2≤…≤rn，除第N组外的每组至少含有=3个数.?
(2)当第n组形成后，因为n＜N,所以还有数没有分完，这时余下的每个数必大于余差rn,余下数之和也大于第n组的余差rn,?
即L-［(150-r1)+(150-r2)+…+(150-rn)］＞rn,?
由此可得r1+r2+…+rn-1＞150n-L.?
因为(n-1)rn-1≥r1+r2+…+rn-1,?
(3)用反证法证明结论.假设N＞11,即第11组形成后，还有数没有分完，由(1)和(2)可知余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10,?
故余下的每个数
因为第11组数中至少含有3个数,?
所以第11组数之和大于37.5×3=112.5.?
此时,第11组的余差r11=150-
第11组数之和＜150-112.5=37.5,?
这与(*)式中r11＞37.5矛盾,?
所以N≤11.
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