题目内容
【题目】已知函数,且
.
(1)判断并证明在区间
上的单调性;
(2)若函数与函数
在
上有相同的值域,求
的值;
(3)函数,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)利用单调性的定义证得在
上的单调性.
(2)根据在
上的单调性,求得
在
上的值域,由此求得
的值.
(3)由(1)求得在
上的值域,由此列不等式,解不等式求得
的取值范围.
(1)在区间
上为减函数.任取
,
,由于
,
,
,所以
,所以
在
上递减.
(2)因为在
上递减,所以其值域为
,即
时,
.因为
为最大值,所以最小值只能为
或
.若
,则
.若
,则
.综上所述,
.
(3)当,
时,
在
上递减,所以
在
上的最大值为
,最小值为
.由(2)知
在
上的值域为
.所以
,所以
,解得
.
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