题目内容
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=1，求曲线
处切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=2x，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）运用求导数法则，得f'（x）=1+
，从而得到曲线
处切线的斜率k=f'（
）=3；
（2）首先f'（x）=a+
，（x＞0），再根据a的正负讨论f'（x）的取值，可得当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-
）上为增函数，在（-
，+∞）上为减函数．
（3）由题意，得f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于g（x2）在[0，1]上的最大值．由指数函数单调性可得g（x2）在[0，1]上的最大值为g（1）=2，从而得到f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于2．再结合（2）中函数单调性的结论，列出不等式并解之，即可得到实数a的取值范围为（-∞，-
）．
解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+
，可得f'（
）=3
∴曲线
处切线的斜率k=f'（
）=3
（2）由题意，得f'（x）=a+
，（x＞0）
∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
当a＜0时，f'（x）=a+
在（0，-
）上为正数，在（-
，+∞）上为负数
由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；
当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-
）上为增函数，在（-
，+∞）上为减函数
（3）由题意，得f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于g（x2）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2x，[0，1]上是增函数
∴g（x2）在[0，1]上的最大值为g（1）=2
即f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于2
当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x1）没有最大值；
当a＜0时，f（x1）在（0，+∞）上的最大值为f（-
）=-1+ln（-
）＜2
解之得a
，可得实数a的取值范围为（-∞，-
）．
点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的单调性并解决不等式恒成立的问题，着重考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和含有参数不等式的讨论等知识，属于中档题．
，从而得到曲线处切线的斜率k=f'（）=3；（2）首先f'（x）=a+
，（x＞0），再根据a的正负讨论f'（x）的取值，可得当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-）上为增函数，在（-，+∞）上为减函数．（3）由题意，得f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于g（x2）在[0，1]上的最大值．由指数函数单调性可得g（x2）在[0，1]上的最大值为g（1）=2，从而得到f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于2．再结合（2）中函数单调性的结论，列出不等式并解之，即可得到实数a的取值范围为（-∞，-
）．解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+
，可得f'（）=3∴曲线
处切线的斜率k=f'（）=3（2）由题意，得f'（x）=a+
，（x＞0）∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
当a＜0时，f'（x）=a+
在（0，-）上为正数，在（-，+∞）上为负数由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；
当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-
）上为增函数，在（-，+∞）上为减函数（3）由题意，得f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于g（x2）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2x，[0，1]上是增函数
∴g（x2）在[0，1]上的最大值为g（1）=2
即f（x1）在（0，+∞）上的最大值小于2
当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x1）没有最大值；
当a＜0时，f（x1）在（0，+∞）上的最大值为f（-
）=-1+ln（-）＜2解之得a
，可得实数a的取值范围为（-∞，-）．点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的单调性并解决不等式恒成立的问题，着重考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和含有参数不等式的讨论等知识，属于中档题．
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