Question

在数列{a_n}中，a₁=a，且an+1+2an=2n+1
（1）若a₁，a₂，a₃成等差数列，则{a_n}是否成等差数列？并说明理由；
（2）若a₁，a₂，a₃成等比数列，则{a_n}是否成等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出数列前3项，利用a₁，a₂，a₃成等差数列，求出a，再求出第4项，即可得出结论；
（2）由a₁，a₂，a₃成等比数列得a的值，利用数列递推式，令bn=

an

2n

，可得bn+1-

1

2

=-(bn-

1

2

)，从而可得结论．

解答：解：（1）由已知得a₂=4-2a，a₃=4a                            （1分）
由a₁，a₂，a₃成等差数列得a=

8

9

                                （4分）
此时，a1=

8

9

，a2=

20

9

，a3=

32

9

，但a4=

80

9

≠

44

9

，
所以{a_n}是不成等差数列；                                      （7分）
（2）由a₁，a₂，a₃成等比数列得a=1                          （8分）
由an+1+2an=2n+1得

an+1

2n+1

+

an

2n

=1                          （10分）
令bn=

an

2n

，
所以bn+1-

1

2

=-(bn-

1

2

)，当a=1时，b1-

1

2

=0，
因此，bn-

1

2

=0                                          （12分）
所以an=2n-1，即有

an+1

an

=2，
因此a=1时，{a_n}成等比数列    （14分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的判定，考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于中档题．