Question

选修4-5不等式选讲
（1）已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，求2x+3y+4z的最小值；
（2）解关于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．

Answer 1

分析：（1）分析题目已知x²+y²+z²=1，求2x+3y+4z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（2x+3y+4z）²的最大值，开平方根即可得到答案．
（2）可令f（x）=|x-5|-|2x+3|，再将其解析式变化成分段函数的形式，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集．

解答：解：（1）因为已知x²+y²+z²=1根据柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
即（2x+3y+4z）²≤（x²+y²+z²）（2²+3²+4²）≤1×29=29
故2x+3y+4z≤

29

．当且仅当

x

2

=

y

3

=

z

4

时取等号．
则2x+3y+4z的最大值是

29

．
故答案为：

29

．
（2）解：f（x）=|2x+1|+|x+2|=

-3x-3，x≤-2 1-x，-2≤x≤- 1 2 3x+3，x＞ 1 2

，
当x＜-2时，由-3x-3＞5 可得  x＜-

8

3

，解得 x＜-

8

3

．
当-2≤x≤-

1

2

时，由1-x＞5，可得 x＜-4，不等式无解．
当 x＞-

1

2

时，由3x+3＞5 可得 x＞

2

3

，解得x＞

2

3

．
综上可得  x＜-

8

3

或x＞

2

3

．
故不等式的解集为：{x|x＜-

8

3

或 x＞

2

3

}．

点评：（1）此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．
（2）本题考察绝对值不等式的解法，解题的关键是将绝对值不等式转化，即去掉绝对值号转化为不含有绝对值的不等式，进行求解，转化的方法一般有二，一是平方的方法，此法不适合本题，因为得两次平方才能去掉绝对值号，二是分类讨论法，本题采取了这种方法，将绝对值不等式转化为三个一次不等式求解，根据题设条件选择恰当的方法对顺利解题的很重要．