题目内容

现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
分析:(Ⅰ)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
1
3
,去参加乙游戏的人数的概率为
2
3
.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=
C
i
4
1
3
i
2
3
4-i.由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
解答:(Ⅰ)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
1
3

去参加乙游戏的人数的概率为
2
3

设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
P(Ai)=
C
i
4
1
3
i
2
3
4-i
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=
C
2
4
1
3
)2(
2
3
)2=
8
27

(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
故P(ξ=0)=P(A2)=
8
27

P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=
40
81

P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=
17
81

∴ξ的分布列是
 ξ  0  2  4
 P  
8
27
 
40
81
17
81
数学期望Eξ=0×
8
27
+2×
40
81
+4×
17
81
=
148
81
点评:本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.
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