题目内容
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
分析:(Ⅰ)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
,去参加乙游戏的人数的概率为
.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=
(
)i(
)4-i.由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
1 |
3 |
2 |
3 |
C | i 4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
解答:(Ⅰ)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
,
去参加乙游戏的人数的概率为
.
设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
P(Ai)=
(
)i(
)4-i.
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=
(
)2(
)2=
.
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
故P(ξ=0)=P(A2)=
,
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=
,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=
,
∴ξ的分布列是
数学期望Eξ=0×
+2×
+4×
=
.
1 |
3 |
去参加乙游戏的人数的概率为
2 |
3 |
设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
P(Ai)=
C | i 4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=
C | 2 4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
8 |
27 |
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
故P(ξ=0)=P(A2)=
8 |
27 |
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=
40 |
81 |
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=
17 |
81 |
∴ξ的分布列是
ξ | 0 | 2 | 4 | ||||||
P |
|
|
|
8 |
27 |
40 |
81 |
17 |
81 |
148 |
81 |
点评:本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.

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