Question

已知A（-2，0），B（2，0），点C、D依次满足|

AC

|=2，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
（1）求点D的轨迹；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为

4

5

，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设C（x₀，y₀），D（x，y），由

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得C、D两点坐标关系①，由|

AC

|=2可得(x0+2)2+y02=4②，由①②消掉x₀，y₀即得所求轨迹方程，进而得其轨迹；
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）椭圆的方程

x2

a2

+

y2

a2-4

=1(a2＞4)，由l与圆相切可得k²值，联立直线方程与椭圆方程消掉y并代入k²值，可用a表示出由中点坐标公式及MN的中点到y轴的距离为

4

5

可得a的方程，解出即可；
（3）假设存在椭圆上的一点P（x₀，y₀），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，易知点Q到直线PA，PB的距离相等，根据点到直线的距离公式可得一方程，再由点P在椭圆上得一方程联立可解得点P，进而得到圆的半径；

解答：解：（1）设C(x0，y0)，D(x，y)，

AC

=(x0+2，y0)，

AB

=(4，0)．

AD

=(

x0

2

+3，

y0

2

)=（x+2，y），则

x0=2(x-1) y0=2y

，
代入|

AC

|2=(x0+2)2+y02=4，得x2+y2=1．
所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．      
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）．①
椭圆的方程

x2

a2

+

y2

a2-4

=1(a2＞4)；②
由l与圆相切得：

|2k|

1+k2

=1，k2=

1

3

．
将①代入②得：（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，
又k2=

1

3

，可得(a2-3)x2+a2x-

3

4

a4+4a2=0，
有x1，2=

-a2± 3 a(a2-4)

2(a2-3)

，
∴x1+x2=-

a2

a2-3

=-2×

4

5

，解得a²=8．
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（3）假设存在椭圆上的一点P（x₀，y₀），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，
则Q到直线PA，PB的距离相等，
A（-2，0），B（2，0），PA：（x₀+2）y-y₀x-2y₀，PB：（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0，
d1=

|y0|

(x0-2)2+y02

=

|3y0|

(x0+2)2+y02

=d₂，
化简整理得：8x02-40x0+32+8y02=0，
∵点P在椭圆上，∴x02+2y02=8，
解得：x₀=2或x₀=8（舍）
x₀=2时，y0=±

2

，r=1，
∴椭圆上存在点P，其坐标为（2，

2

）或（2，-

2

），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆（x-1）²+y²=1相切．

点评：本题考查直线方程、圆的方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．