题目内容
已知函数f(x)=x-1-lnx.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)求证:当n∈N*时,e1+
+
+…+
>n+1;
(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,b,使得不等式h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b都成立,则称直线y=kx+b是函数h(x)与g(x)的“分界线”.设函数h(x)=
x2,g(x)=e[x-1-f(x)],试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出常数k,b的值;若不存在,说明理由.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)求证:当n∈N*时,e1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,b,使得不等式h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b都成立,则称直线y=kx+b是函数h(x)与g(x)的“分界线”.设函数h(x)=
1 |
2 |
分析:(1)由f(x)=x-1-lnx(x>0)知f/(x)=1-
=
,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,由此能求出f(x)的最小值.
(2)由(1)知当x>0时恒有f(x)≥0,即x-1≥lnx,故ex-1≥x,从而有ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,由此能够证明当n∈N*时,e1+
+
+…+
>n+1.
(3)令F(x)=h(x)-g(x)=
x2-elnx(x>0),则F/(x)=x-
=
,当x∈(0,
)时,F′(x)<0,F(x)递减,当x∈(
,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,故当x=
时F(x)取得最小值0,则h(x)与g(x)的图象在x=
处有公共点(
,
).由此能够导出函数h(x)与g(x)存在“分界线”,其中k=
,b=-
.
1 |
x |
x-1 |
x |
(2)由(1)知当x>0时恒有f(x)≥0,即x-1≥lnx,故ex-1≥x,从而有ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,由此能够证明当n∈N*时,e1+
1 |
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1 |
n |
(3)令F(x)=h(x)-g(x)=
1 |
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e |
x |
(x+
| ||||
x |
e |
e |
e |
e |
e |
e |
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e |
e |
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解答:(1)解:∵f(x)=x-1-lnx(x>0)
∴f/(x)=1-
=
,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,
∴f(x)的最小值为f(1)=0.…(4分)
(2)证明:由(1)知当x>0时恒有f(x)≥0,即x-1≥lnx,
∴ex-1≥x,从而有ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,…(6分)
分别令x=1,
,
,…,
,
得e1>1+1=2,e
>
+1=
,e
>
+1=
,…,e
>
+1=
,
相乘可得e1+
+
+…+
>2×
×
×…×
=n+1.…(8分)
(3)解:令F(x)=h(x)-g(x)=
x2-elnx(x>0),
则F/(x)=x-
=
,
当x∈(0,
)时,F′(x)<0,F(x)递减,
当x∈(
,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,
∴当x=
时F(x)取得最小值0,
则h(x)与g(x)的图象在x=
处有公共点(
,
).…(10分)
设函数h(x)与g(x)存在“分界线”,方程为y-
=k(x-
),
应有h(x)≥kx+
-k
在x∈R时恒成立,
即x2-2kx-e+2k
≥0在x∈R时恒成立,
必须△=4k2-4(2k
-e)=4(k-
)2≤0,
得k=
.…(13分)
下证g(x)≤
x-
在x>0时恒成立,
记G(x)=elnx-
x+
,
则G/(x)=
-
=
,当x∈(0,
)时,G′(x)>0,G(x)递增,
当x∈(
,+∞)时,G′(x)<0,G(x)递减,
∴当x=
时G(x)取得最大值0,
即g(x)≤
x-
在x>0时恒成立,
综上知,函数h(x)与g(x)存在“分界线”,其中k=
,b=-
.…(16分)
∴f/(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,
∴f(x)的最小值为f(1)=0.…(4分)
(2)证明:由(1)知当x>0时恒有f(x)≥0,即x-1≥lnx,
∴ex-1≥x,从而有ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,…(6分)
分别令x=1,
1 |
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1 |
3 |
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n |
得e1>1+1=2,e
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n+1 |
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相乘可得e1+
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n+1 |
n |
(3)解:令F(x)=h(x)-g(x)=
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则F/(x)=x-
e |
x |
(x+
| ||||
x |
当x∈(0,
e |
当x∈(
e |
∴当x=
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则h(x)与g(x)的图象在x=
e |
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设函数h(x)与g(x)存在“分界线”,方程为y-
e |
2 |
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应有h(x)≥kx+
e |
2 |
e |
即x2-2kx-e+2k
e |
必须△=4k2-4(2k
e |
e |
得k=
e |
下证g(x)≤
e |
e |
2 |
记G(x)=elnx-
e |
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则G/(x)=
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x |
e |
e-
| ||
x |
e |
当x∈(
e |
∴当x=
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即g(x)≤
e |
e |
2 |
综上知,函数h(x)与g(x)存在“分界线”,其中k=
e |
e |
2 |
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|