题目内容

已知a>0,设函数f(x)=
2009x+1+2007
2009x+1
+sinx
(x∈[-a,a]的最大值为M,最小值为N,那么M+N=(  )
分析:设g(x)=
2009 x+1+2007
2009x+1
,则g(x)=2009-
2
2009x+1
,因为2009x是R上的增函数,所以g(x)是R上的增函数.函数g(x)在[-a,a]上的最大值是g(a),最小值是g(-a).函数sinx是奇函数,它在[-a,a]上的最大值与最小值互为相反数,最大值与最小值的和为0.所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N=g(a)+g(-a),由此能求出M+N的值.
解答:解:∵f(x)=
2009x+1+2007
2009x+1
+sinx

设g(x)=
2009 x+1+2007
2009x+1

则g(x)=
2009x+1+2009-2
2009x+1

=2009-
2
2009x+1

因为2009x是R上的增函数,所以g(x)是R上的增函数.
函数g(x)在[-a,a]上的最小值是g(-a),最大值是g(a).
函数sinx是奇函数,它在[-a,a]上的最大值与最小值互为相反数,
最大值与最小值的和为0.
所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N=g(a)+g(-a)
=(2009-
2
2009a+1
)+(2009-
2
2009-a+1

=4018-(
2
2009a+1
+
2
2009-a+1

=4018-(
2
2009a+1
+
2009a
1+2009a

=4018-2
=4016.
故选C.
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,解题时要认真审题,注意函数性质的综合运用,易错点是
2
2009a+1
+
2
2009-a+1
的化简运算方法不当导致出错.
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