Question

一动圆经过点Q（0，

1

2

）且和直线2y+1=0相切，记其圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在正数t，对于过点T（0，t）且与曲线C有两个交点R，S的任一直线，都有

QR

•

QS

＜0，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由：

Answer 1

分析：（1）设出圆心的坐标C（x，y），根据半径的关系，动圆经过点Q（0，

1

2

）且和直线2y+1=0相切，C点与Q点的距离等于圆半径的平方，而y-

1

2

也等于半径的平方，故求出C的轨迹方程；
（2）设出点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）设出直线y=kx+t，与曲线C的方程进行联立，求出x₁+x₂，和x₁•x₂，根据向量的内积公式写出

QR

•QS

表达式，让其小于0，求出t的范围；

解答：解：（1）设圆心C（x，y），半径为r，
∵动圆经过点Q（0，

1

2

），∴（x-0）²+（y-

1

2

）²=r²；
∵圆和直线2y+1=0相切，
∴y+

1

2

=r，
∴（x-0）²+（y-

1

2

）²=（y+

1

2

）²，
∴曲线C的方程为：x²=2y；
（2）∵直线过点T（0，t）且与曲线C有两个交点R，S，
∴可设y=kx+t，点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），点Q（0，

1

2

）
∴

QR

•QS

=x₁x₂+y₁y₂-

1

2

（y₁+y₂），
联立方程：

y=kx+t x2=2y

消去y得，
x²-2kx-2t=0，△=（-2k）²-4×（-2t）=4k²+8t＞0，
∴k²＞-2t，-k²＜2t，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2t；
∴y₁+y₂=（kx₁+t）+（kx₂+t）=2k²+2t，
y₁y₂=（kx₁+t）•（kx₂+t）=k²x₁•x²+t²+kt（x₁+x₂）=t²，
∴

QR

•QS

=x₁x₂+y₁y₂-

1

2

（y₁+y₂）=-2t+t²-

1

2

×（2k²+2t²）=t²-3t-k²-t-

1

4

＜t²-3t+2t-

1

4

=t²-t-

1

4

=（t-1）²-

1

2

＜0，
∴1-

2

2

＜t＜1+

2

2

，满足t＞0，
∴t的取值范围：1-

2

2

＜t＜1+

2

2

；

点评：第一问考查轨迹方程，正好是抛物线，第二问是关于存在性问题，一般假设存在，然后进行求解，本题是关于圆锥曲线的问题，是高考的热点问题，难度中等偏上；