题目内容

已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M(-1,1),且该圆被x轴截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线,使得点M到这两条直线的距离之积为
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,若存在,请求出满足条件的直线方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由圆心在直线y=2x上,设圆心坐标为(a,2a),半径为r,表示出圆的方程,将M坐标代入得到关于a与r的关系式,再有弦长为2,利用垂径定理及勾股定理列出关系式,联立求出a与r的值,即可确定出圆C的方程;
(2)由(1)得到圆C的圆心坐标与半径,假设存在互相垂直的两条直线满足条件,当一条直线的斜率不存在,另一条直线斜率为0时,经检验不合题意;故两直线斜率都存在,利用两直线垂直时斜率的乘积为-1,设一个斜率为k,另一个为-
1
k
,由C坐标表示出直线方程,利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离,根据距离之积列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可确定出满足条件的直线方程.
解答:解:(1)∵圆心在直线y=2x上,
∴设圆C的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2,…①
又∵圆C经过点(-1,1),
∴(-1-a)2+(1-2a)2=r2,…②
又∵圆C被x轴截得的弦长为2,
∴1+(2a)2=r2,…③
由①②③解得a=1,r2=5,
则圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5;                 
(2)由(1)知圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心C(1,2),
假设存在互相垂直的两条直线满足条件,
当一条直线的斜率不存在,另一条直线斜率为0时,
点(-1,1)到两条垂直直线的距离之积为2≠
3
2
,不符合题意;
当它们的斜率均存在时,
分别设为y-2=k(x-1),y-2=-
1
k
(x-1),即kx-y+2-k=0,x+ky-2k-1=0,
|-2k+1|
1+k2
|-k-2|
1+k2
=
3
2
,即
|2k2+3k-2|
1+k2
=
3
2

2k2+3k-2
1+k2
=
3
2
时,即k2+6k-7=0,解得:k=1或k=-7;
2k2+3k-2
1+k2
=-
3
2
时,即7k2+6k-1=0,解得:k=-1或k=
1
7

则存在互相垂直的两条直线方程分别为x-y+1=0,x+y-3=0或x-7y+13=0,7x+y-9=0.
点评:此题考查了圆的标准方程,以及直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,两直线垂直时斜率满足的关系,以及直线的点斜式方程,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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