Question

【题目】已知函数f (x)＝a lnx＋＋x (a≠0)．

(1)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；

(2)讨论函数f (x)的单调性．

Answer 1

【答案】(1) a＝－1或a＝.

(2) 当a>0时,f(x)在(a,＋)上单调递增,在(0,a)上单调递减．当a<0时,所以函数f(x)在(0,－2a)上单调递减,在(－2a,＋)上单调递增.

【解析】分析：（1）先求出，由题意得：f′（1）=﹣2，解方程求出即可；（2）求出，讨论①a＞0时，②a＜0时的情况，从而求出函数的单调区间；（3）由（2）得，当a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最小值为f（﹣2a），故g（a）=f（﹣2a），得g′（a）=ln（﹣2a）﹣2，得g（a）在（﹣∞，﹣e2）递增，在（﹣e2，0）递减，从而g（a）最大值=e2，进而求出g（a）的最大值．

详解：

(1)f(x)的定义域为．

根据题意,有f′(1)＝－2,所以2a2－a－3＝0,解得a＝－1或a＝

(2)

当a>0时,因为x>0,

由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>a；

由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<a.

所以函数f(x)在(a,＋)上单调递增,在(0,a)上单调递减．

当a<0时,因为x>0,

由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<－2a

所以函数f(x)在(0,－2a)上单调递减,在(－2a,＋)上单调递增．

所以：当a>0时,f(x)在(a,＋)上单调递增,在(0,a)上单调递减．当a<0时,所以函数f(x)在(0,－2a)上单调递减,在(－2a,＋)上单调递增.