题目内容
16.设函数f(x)=|x-
52|+|x-a|,x∈R.
(Ⅰ)求证:当a=-
12时,不等式f(x)≥3成立;
(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.
分析 (Ⅰ)运用零点分区间的方法,去掉绝对值,由一次函数的单调性可得f(x)的范围,即可得证;
(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质,可得f(x)的最小值,由不等式恒成立思想可得|a-52|≥a,再由绝对值不等式的解法,可得a的范围.
解答 (Ⅰ)证明:当a=-12时,f(x)=|x-52|+|x+12|,
当x<−12时,f(x)=-x+52-x-12=2-2x>3;
当x>52时,f(x)=x-52+x+12=2x-2>3;
当-12≤x≤52时,f(x)=-x+52+x+12=3.
则f(x)的最小值为3,
即有f等式f(x)≥3成立;
(Ⅱ)f(x)=|x-52|+|x-a|≥|(x-52)-(x-a)|=|a-52|,
即有f(x)的最小值为|a-52|,
由题意可得|a-52|≥a,
即为a-52≥a或a-52≤-a,
解得a≤54.
即有a的最大值为54.
点评 本题考查绝对值不等式的解法和含绝对值函数的值域,同时考查不等式恒成立思想的运用和绝对值不等式的性质,属于中档题.
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