题目内容
已知函数f(x)=log2(x+m),m∈R( I)若f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;
( II)若a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c依次成等差数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
【答案】分析:(1)把x=1,2及4代入函数解析式,表示出f(1),f(2),及f(4),由f(1),f(2),f(4)成等差数列,根据等差数列的性质列出股关系式,利用对数的运算法则化简,即可求出m的值;
(2)f(a)+f(c)小于2f(b),理由为:根据a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c依次成等差数列,设出公差为d,用b和d表示出a及c,要比较f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,可利用作差法进行,方法是表示出f(a)+f(c)-2f(b),利用对数的运算法则化简后,真数的分子减分母利用多项式的乘法法则整理后,将表示出的a与c代入,根据d不为0,得到完全平方式大于0,可得其差小于0,即分子小于分母,可得真数小于1大于0,根据底数为2,利用对数函数的图象与性质可得对数值小于0,即f(a)+f(c)-2f(b)小于0,即可得证.
解答:解:(1)因为f(1),f(2),f(4)成等差数列,所以2f(2)=f(1)+f(4),
即:2log2(2+m)=log2(1+m)+log2(4+m),即log2(2+m)2=log2(1+m)(4+m),得
(2+m)2=(1+m)(4+m),得m=0.
(2)若a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c依次成等差数列,
设a=b-d,c=b+d,(d不为0);
f(a)+f(c)-2f(b)=log2(a+m)+log2(c+m)-2log2(b+m)=log2
因为(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+(a+c)m+m2-(b+m)2=b2-d2+2bm+m2-(b+m)2=-d2<0
所以:0<(a+m)(c+m)<(b+m)2,
得0<<1,得log2<0,
所以:f(a)+f(c)<2f(b).
点评:此题考查了等差数列的性质,对数的运算性质,以及等差数列的通项公式,利用了转化的思想,其中第二问比较大小的方法是作差法,此方法是比较大小经常运用的方法,应熟练掌握.
(2)f(a)+f(c)小于2f(b),理由为:根据a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c依次成等差数列,设出公差为d,用b和d表示出a及c,要比较f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,可利用作差法进行,方法是表示出f(a)+f(c)-2f(b),利用对数的运算法则化简后,真数的分子减分母利用多项式的乘法法则整理后,将表示出的a与c代入,根据d不为0,得到完全平方式大于0,可得其差小于0,即分子小于分母,可得真数小于1大于0,根据底数为2,利用对数函数的图象与性质可得对数值小于0,即f(a)+f(c)-2f(b)小于0,即可得证.
解答:解:(1)因为f(1),f(2),f(4)成等差数列,所以2f(2)=f(1)+f(4),
即:2log2(2+m)=log2(1+m)+log2(4+m),即log2(2+m)2=log2(1+m)(4+m),得
(2+m)2=(1+m)(4+m),得m=0.
(2)若a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c依次成等差数列,
设a=b-d,c=b+d,(d不为0);
f(a)+f(c)-2f(b)=log2(a+m)+log2(c+m)-2log2(b+m)=log2
因为(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+(a+c)m+m2-(b+m)2=b2-d2+2bm+m2-(b+m)2=-d2<0
所以:0<(a+m)(c+m)<(b+m)2,
得0<<1,得log2<0,
所以:f(a)+f(c)<2f(b).
点评:此题考查了等差数列的性质,对数的运算性质,以及等差数列的通项公式,利用了转化的思想,其中第二问比较大小的方法是作差法,此方法是比较大小经常运用的方法,应熟练掌握.
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