题目内容
15.用数学归纳法证明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$>$\frac{127}{64}$(n∈N+)成立,其初始值至少应取8.分析 先通过解原不等式知,要使原不等式成立,n最小取8,从而根据数学归纳法的步骤证明原不等式对于任意正整数n≥8成立:1)n=8时成立;2)假设n=k时成立,然后证明n=k+1时成立即可.
解答 证明:根据等比数列求和公式将原不等式变成:$\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{\frac{1}{2}}>\frac{127}{64}$;
∴$\frac{1}{128}>(\frac{1}{2})^{n}$;
∴要使原不等式成立,n最小取8;
∴(1)n=8时原不等式成立;
(2)假设n=k时原不等式成立,即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}>\frac{127}{64}$;
∴n=k+1时,$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{2}^{k}}>\frac{127}{64}+\frac{1}{{2}^{k}}$,$\frac{1}{{2}^{k}}>0$;
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k}}>\frac{127}{64}$;
即n=k+1时原不等式成立;
∴由(1)(2)知原不等式对于任意正整数n≥8都成立.
由前面知n最小取8;
∴其初始值最小取8.
故答案为:8.
点评 考查等比数列的前n项和公式,以及利用数学归纳法证明命题的步骤,指数式的符号.
练习册系列答案
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