Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且cos2

A

2

-sin2

A

2

+cosA+1=0
（1）求角A的大小；
（2）若a=2

3

，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c，以及cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答：解：（1）已知等式化简得：2cosA+1=0，即cosA=-

1

2

，
∵A为三角形内角，∴A=120°；
（2）∵a=2

3

，b+c=4，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc，即12=16-bc，
∴bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．