Question

.（本小题满分12分）在△ABC中，∠C = 90^o ,BC = 1.以A为圆心，AC为半径画弧交AB于D，在由弧CD与直线段BD、BC所围成的范围内作内接正方形EFGH（如图）。设AC = x，EF = y ，（1）求y与x的函数关系式；（2）正方形EFGH的面积是否有最大值？试证明你的结论。

Answer 1

（1）  （2）略

解析:

（本题满分12分）

（1）延长FE与AB交于点P，则∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴， …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）即。……6分

∵  ∴（*）式成立的充要条件是，

所以y与x的函数关系式为，        ……8分

（2）因为，等号当且仅当，即时取得10分   所以正方形的面积当时取得最大值12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得与的函数关系式为（）