题目内容
在平面直角坐标系中,已知点A(
,0),向量
=(0,1),点B为直线x=-
上的动点,点C满足2
=
+
,点M满足
•
=0,
•
=0.
(1)试求动点M的轨迹E的方程;
(2)设点P是轨迹E上的动点,点R、N在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.
1 |
2 |
e |
1 |
2 |
OC |
OA |
OB |
BM |
e |
CM |
AB |
(1)试求动点M的轨迹E的方程;
(2)设点P是轨迹E上的动点,点R、N在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.
分析:(1)设M(x,y),B(-
,m),可得C(0,
),进而得到向量
、
和
的坐标,结合题中向量等式建立x、y与m的等式,再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程;
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),可得PR直线的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.由直线PR、PN与题中的圆相切,运用距离公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0,可得b、c是方程(x0-2)x2+y0x-x0=0的两个根,运用根与系数的关系算出|b-c|关于x0的式子,再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x0的表达式,最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值.
1 |
2 |
m |
2 |
BM |
CM |
AB |
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),可得PR直线的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.由直线PR、PN与题中的圆相切,运用距离公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0,可得b、c是方程(x0-2)x2+y0x-x0=0的两个根,运用根与系数的关系算出|b-c|关于x0的式子,再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x0的表达式,最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值.
解答:解:(1)设M(x,y),B(-
,m),则
∵点C满足2
=
+
,∴点C是线段AB的中点,可得C(0,
)
由此可得:
=(x+
,y-m),
=(x,y-
),
=(-1,m)
∵
=(0,1),
•
=0,
•
=0
∴可得
,化简整理得
,
消去参数m得y2=2x,所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x;…(4分)
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,
∴PR直线的方程为y=
x+b,整理得lPR:(y0-b)x-x0y+x0b=0,
∵圆(x-1)2+y2=1内切于△PRN,可得PR与圆相切,∴
=1,
注意到x0>2,化简得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0,
因此,b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个不相等的实数根,…(8分)
根据根与系数的关系,化简整理可得|b-c|=
=
,
由此可得△PRN的面积为S =
•
•x0=(x0-2)+
+4≥8,
∴当x0-2=
时,即当x0=4时,△PRN的面积的最小值为8.…(12分)
1 |
2 |
∵点C满足2
OC |
OA |
OB |
m |
2 |
由此可得:
BM |
1 |
2 |
CM |
m |
2 |
AB |
∵
e |
BM |
e |
CM |
AB |
∴可得
|
|
消去参数m得y2=2x,所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x;…(4分)
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,
∴PR直线的方程为y=
y0-b |
x0 |
∵圆(x-1)2+y2=1内切于△PRN,可得PR与圆相切,∴
|y0-b+x0b| | ||
|
注意到x0>2,化简得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0,
因此,b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个不相等的实数根,…(8分)
根据根与系数的关系,化简整理可得|b-c|=
| ||
|x0-2| |
2x0 |
x0-2 |
由此可得△PRN的面积为S =
1 |
2 |
2x0 |
x0-2 |
4 |
x0-2 |
∴当x0-2=
4 |
x0-2 |
点评:本题给出动点满足的条件,求动点的轨迹方程并求了△PRN的面积的最小值.着重考查了抛物线的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识,属于中档题.
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