Question

（1）是否存在正整数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．
（2）是否存在正无理数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．

Answer 1

解：（1）假设存在正整数数列{a_n}满足条件．
∵a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，∴，…
又，所以有对n=2，3，4，成立．
∴
所以．
设a₂²∈[2^k，2^k+1），k∈N，取N=k+3，则有，
这与a_N是正整数矛盾．
所以不存在正整数数列{a_n}满足条件．
（2）就是满足条件的一个无理数数列．此时有a_n+1²=4a_na_n+2≥2a_na_n+2．
分析：（1）假设存在正整数数列{a_n}满足条件，即a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，整式化为分式，得到…，即，进一步论证即可说明不存在；
（2）举例说明即可，如，代入a_n+1²≥2a_na_n+2进行验证即可．
点评：此题是个中档题．考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，特别是问题（1）的设问形式，增加了题目的难度，对学生的逻辑思维要求特别高，灵活性强．