题目内容
（2012•松江区三模）已知函数f（x）=x2+3x，数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，等差数列{bn}的任一项bn∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{bn}的通项公式；
（3）设数列{cn}满足cn=
，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，等差数列{bn}的任一项bn∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{bn}的通项公式；
（3）设数列{cn}满足cn=
| n | an-1 |
分析：（1）利用点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+3x的图象上，可得Sn=n2+3n，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）先确定A∩B=B，进而可得数列{bn}的公差是4 的倍数，利用b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，即可求{bn}的通项公式；
（3）利用c1，cp，cq成等比数列，建立方程，可求正整数p，q的值．
（2）先确定A∩B=B，进而可得数列{bn}的公差是4 的倍数，利用b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，即可求{bn}的通项公式；
（3）利用c1，cp，cq成等比数列，建立方程，可求正整数p，q的值．
解答：解：（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+3x的图象上，∴Sn=n2+3n．
当n=1时，a1=S1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2，
当n=1时，也满足．
故an=2n+2．
（2）∵A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=4n+2，n∈N*}
∴A∩B=B，
又∵bn∈A∩B，∴bn∈B即数列{bn}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b1=6，∴b8=4k+6，k∈N*，
又∵88＜b8＜93
∴
，解得k=21．
等差数列{bn}的公差为d，由b8=6+7d=90得d=12，故bn=12n-6
（3）∵cn=
=
，∴c1=
，cp=
，cq=
若c1，cp，cq成等比数列，则(
)2=
(
)，即
=
．
可得
=
，所以-2p2+4p+1＞0，
从而1-
＜p＜1+
又p∈N*，∴p=2，此时q=12．
故当且仅当p=2，q=12，使得c1，cp，cq成等比数列．
当n=1时，a1=S1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2，
当n=1时，也满足．
故an=2n+2．
（2）∵A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=4n+2，n∈N*}
∴A∩B=B，
又∵bn∈A∩B，∴bn∈B即数列{bn}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b1=6，∴b8=4k+6，k∈N*，
又∵88＜b8＜93
∴
|
等差数列{bn}的公差为d，由b8=6+7d=90得d=12，故bn=12n-6
（3）∵cn=
| n |
| an-1 |
| n |
| 2n+1 |
| 1 |
| 3 |
| p |
| 2p+1 |
| q |
| 2q+1 |
若c1，cp，cq成等比数列，则(
| p |
| 2p+1 |
| 1 |
| 3 |
| q |
| 2q+1 |
| p2 |
| 4p2+4p+1 |
| q |
| 6q+3 |
可得
| 3 |
| q |
| -2p2+4p+1 |
| p2 |
从而1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又p∈N*，∴p=2，此时q=12．
故当且仅当p=2，q=12，使得c1，cp，cq成等比数列．
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，正确确定数列的通项是关键．
练习册系列答案
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