Question

（1）是否存在正整数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．
（2）是否存在正无理数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．

Answer 1

分析：（1）假设存在正整数数列{a_n}满足条件，即a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，整式化为分式，得到

an

an-1

≤

1

2

•

an-1

an-2

≤

1

22

•

an-2

an-3

≤…≤

1

2n-2

•

a2

a1

，n=3，4…，即

an

an-1

≤

1

2n-2

•

a2

a1

，进一步论证即可说明不存在；
（2）举例说明即可，如an=

π

2(n-1)(n-2)

，代入a_n+1²≥2a_na_n+2进行验证即可．

解答：解：（1）假设存在正整数数列{a_n}满足条件．
∵a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，∴

an

an-1

≤

1

2

•

an-1

an-2

≤

1

22

•

an-2

an-3

≤…≤

1

2n-2

•

a2

a1

，n=3，4，…
又

a2

a1

≤

1

22-2

•

a2

a1

，所以有

an

an-1

≤

1

2n-2

•

a2

a1

对n=2，3，4，成立．
∴an≤(

1

2n-2

•

a2

a1

)an-1≤

1

2(n-2)+(n-3)

•(

a2

a1

)2•an-2≤

1

2(n-2)+(n-3)+…+1

•(

a2

a1

)n-2•a2
所以an≤(

a 2 2

2n-2

)

n-1

2

•

1

a n-2 1

．
设a₂²∈[2^k，2^k+1），k∈N，取N=k+3，则有aN≤(

a 2 2

2N-2

)

N-1

2

•

1

a N-2 1

＜(

2k+1

2k+1

)

k+2

2

•

1

a k+1 1

≤1，
这与a_N是正整数矛盾．
所以不存在正整数数列{a_n}满足条件．
（2）an=

π

2(n-1)(n-2)

就是满足条件的一个无理数数列．此时有a_n+1²=4a_na_n+2≥2a_na_n+2．

点评：此题是个中档题．考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，特别是问题（1）的设问形式，增加了题目的难度，对学生的逻辑思维要求特别高，灵活性强．