题目内容

设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,若函数f(x)=
1-ex1+ex
,则函数g(x)=[f(x)]+[f(-x)]的值域为
 
分析:分别求出函数f(x)和f(-x)的值域,利用[x]的定义即可求[f(x)],[f(-x)]的值域.
解答:解:f(x)=
1-ex
1+ex
=
2
1+ex
-1

当x>0时,-1<f(x)<0,此时[f(x)]=0
当x<0时,0<f(x)<1,[f(x)]=0,
当x=0时,f(x)=0,[f(x)]=0,
∵f(-x)=
1-ex
1+e-x
=
ex-1
1+ex
=1-
2
1+ex

∴当x>0时,0<f(-x)<1,此时[f(x)]=0
当x<0时,-1<f(-x)<0,[f(x)]=-1,
当x=0时,f(-x)=0,[f(x)]=0,
综上当x=0时,y=[f(x)]+[f(-x)]=0
当x>0时,y=[f(x)]+[f(-x)]=0-1=-1,
当x<0时,y=[f(x)]+[f(-x)]=0-1=-1,
∴y的值域:{0,-1}.
故答案为:{0,-1}.
点评:本题主要考查函数的新定义,利用指数函数的性质求函数f(x)的值域,是解决本题的关键.
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