题目内容

已知一次函数f（x）=kx+b的图象经过点（3，1），且g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x₀满足 $数学公式$ ，试判断g（x₀+2）的符号．

解（1）由已知3k+b=1…（4分）
∴b=1-3k（k≠0），∴f（x）=kx+1-3k，g（x）=kx²+（1-3k）x．
∵g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称，
∴- $\text{[math]}$ =1，…（7分）
∴k=1．∴f（x）=x-2．…（8分）
（2）由（1）g（x）=x²-2x， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …（12分）
所以 $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
即g（x₀+2）的符号为正号．…（14分）
注：（2）若由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 给（4分），猜想出为正给（2分），其他方法相应给分．
分析：（1）根据一次函数f（x）=kx+b的图象经过点（3，1）可求出b与k的关系，根据g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称可求出k与b的值；
（2）先求出g（x）的解析式，然后根据 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，从而可判断g（x₀+2）的符号．
点评：本题主要考查了二次函数的对称轴，以及函数值符号的判定，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．