题目内容
在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，-
），（0，
）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）写出曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围．
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（1）写出曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围．
分析：（1）由椭圆定义可判断曲线C为椭圆，且a=2，c=
，根据a，b，c的关系，可求出b的值，进而得到椭圆方程．
（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，则联立椭圆与直线y=x+m的方程，得到的方程组必有解，消去y，得到关于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范围．
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（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，则联立椭圆与直线y=x+m的方程，得到的方程组必有解，消去y，得到关于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范围．
解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-
），（0，
）为焦点，长半轴长为2的椭圆．
∴它的短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+
=1．
（2）联立方程组
，
消去y得5x2+2mx+m2-4=0
因为曲线C与直线y=x+m有交点，所以△=4m2-20（m2-4）≥0
化简得m2-5≤0
解得-
≤m≤
所以m的取值范围为[-
，
]
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∴它的短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（2）联立方程组
|
消去y得5x2+2mx+m2-4=0
因为曲线C与直线y=x+m有交点，所以△=4m2-20（m2-4）≥0
化简得m2-5≤0
解得-
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所以m的取值范围为[-
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点评：本题主要考察了定义法求椭圆方程，以及直线与椭圆相交位置关系的判断．
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如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为