题目内容
12．若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，则f（x）=$\frac{si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx}$的最小值为-1．分析 由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（x）=tanx-$\frac{2}{tanx}$．令t=tanx，则 1≤t≤2+$\sqrt{3}$，f（x）=y=t-$\frac{2}{t}$，利用导数的符号可得函数y在[1，2+$\sqrt{3}$]上单调递增，从而求得y的最小值．
解答 解：x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，则f（x）=$\frac{si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx}$=$\frac{{tan}^{2}x-2}{tanx}$=tanx-$\frac{2}{tanx}$，tan$\frac{5π}{12}$=tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$=2+$\sqrt{3}$，
令t=tanx，则 1≤t≤2+$\sqrt{3}$，f（x）=y=t-$\frac{2}{t}$，∴y′=1+2•$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，故函数y在[1，2+$\sqrt{3}$]上单调递增，
故当t=1时，f（x）=y取得最小值为1-2=-1，
故答案为：-1．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
