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精英家教网如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N.
(1)求证:BA•BM=BC•BN;
(2)如果CM是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值.
分析:(1)连接MN,构造一个直角三角形.即可把证明的线段放到两个直角三角形中,根据相似三角形的判定和性质进行证明;
(2)连接OM,根据切线的性质得到直角△COM,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到MN等于圆的半径,从而发现等边三角形OMN,再根据圆周角定理得到∠B=30°,根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求得AB的长.
解答:精英家教网(1)证明:连接MN,
则∠BMN=90°=∠ACB,
∴△ACB∽△NMB,
BC
BM
=
AB
BN

∴AB•BM=BC•BN;
(2)解:连接OM,则∠OMC=90°,
∵N为OC中点,
∴MN=ON=OM,
∴∠MON=60°,
∵OM=OB,
∴∠B=
1
2
∠MON=30°,
∵∠ACB=90°,
∴AB=2AC=2×3=6.
点评:注意:连接直径构造直角三角形,连接过切点的半径都是圆中常见的辅助线.熟练运用直角三角形的性质能够发现等边三角形,进一步运用圆周角定理发现特殊的直角三角形.
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