Question

对于函数y=f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，满足等式

f(x1)+f(x2)

2

=M，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以

1

2

为其在（0，+∞）上的唯一均值的是①②④（填所有你认为符合条件的函数的序号）①y=(

1

2

)x；         ②y=

1

x+1

；         ③y=-x²+1；         ④y=log₂x．

Answer 1

分析：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立的函数．
对于函数①y=(

1

2

)x，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），验证即可；
对于函数②y=

1

x+1

，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），验证求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=-x²+1，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
对于函数④y=log₂x，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．

解答：解：对于函数①y=(

1

2

)x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞）．使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立，故①对．
对于函数②y=

1

x+1

，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的x₂=

1

x1

，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=-x²+1，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

1

2

，x2=±

1- x 2 1

，可以两个的x₂∈D．故不满足条件．
对于函数④y=log₂x，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立．故成立．
故答案为：①②④

点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．