Question

已知函数f（x）=x²+x-2，设满足“当0＜x＜

1

2

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立”的实数a的集合为A，满足“当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数”的实数a的集合为B，求A∩C_RB（R为实数集）．

Answer 1

分析：由题意可得x²-x+1＜a恒成立，而0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2-x+1＜1，从而可求a的范围即可求A；由g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2在[-2，2]上是单调函数，结合二次函数的性质可知

1-a

2

≤-2或

1-a

2

≥2，从而可求B，进而可求A∩C_RB

解答：解：∵不等式f（x）+3=x²+x-2+3＜2x+a恒成立，即x²-x+1＜a恒成立
当0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2-x+1＜1，
又(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立
∴a≥1
故A={a|a≥1}…（5分）
∵g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2
又∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
故有

1-a

2

≤-2或

1-a

2

≥2
∴a≤-3或a≥5
∴B={a|a≤-3，或a≥5}…（10分）
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}…（12分）

点评：本题主要考查了由二次函数的恒成立求解参数的范围，二次函数的单调性的应用，集合之间的基本运算，属于基础试题