Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)当时， 在单调递增，当时， 在单调递增，在上单调递减，当时， 在单调递减；(3) .

【解析】试题分析：（1）在的最值只能在和区间的两个端点取到，因此，通过算出上述点并比较其函数值可得函数在的最值；（2）算出，对的取值范围分情况讨论即可；（3）根据（2）中得到的单调性化简不等式，从而求解不等式，解得的取值范围.

试题解析：（1）当时， ，∴，

∵的定义域为，∴由，得.……………………2分

∴在区间上的最值只可能在取到，

而， ， ，……4分

（2）， ，

①当，即时， ，∴在上单调递减；……5分

②当时， ，∴在上单调递增；…………………………6分

③当时，由得，∴或（舍去）

∴在上单调递增，在上单调递减；……………………8分

综上，当时， 在单调递增；

当时， 在单调递增，在上单调递减.

当时， 在单调递减；

（3）由（2）知，当时， ，

即原不等式等价于，…………………………12分

即，整理得，

∴，………………13分

又∵，∴的取值范围为.……………………14分