Question

【题目】已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）

满足f[f（x）+log x]=4，

∴必存在唯一的正实数a，

满足f（x）+log x=a，f（a）=4，①

∴f（a）+log a=a，②

由①②得：4+log a=a，log a=a﹣4，

a=（ ）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，

故f（x）+log x=a=3，

f（x）=3﹣log x，

由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，

即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，

由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．

g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，

分别作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得

两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，

至经过点（3，1），有两个交点，

由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，

当0＜a≤5时，两图象有两个交点，

即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．

故选：A．

由题设知必存在唯一的正实数a，满足f（x）+log x=a，f（a）=4，f（a）+log a=a，故4+log a=a，log a=a﹣4，a=（ ）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+log x=a=3，由题意可得|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，讨论g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的单调性和最值，分别画出作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，通过平移即可得到a的范围．