Question

（2007•广州二模）已知曲线C：y=e^x（其中e为自然对数的底数）在点P（1，e）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次下去得到一系列点P₁、P₂…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）分别求x_n与y_n的表达式；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求

n

i=1

O

P

2 i

．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义，求曲线C：y=e^x在点P（1，e）处的切线方程，依题意即可得P₁的坐标为（0，1），同样可求曲线C：y=e^x在点P_n（x_n，y_n）处的切线方程，从而得点Q_n+1的横坐标为x_n+1=x_n-1．数列{x_n}是以0为首项，-1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得x_n的表达式，进而得y_n的表达式；（II）先求出{|OP_n|²}的通项公式，再利用拆项求和和等比数列的前n项和公式求和即可

解答：解：（Ⅰ）∵y′=e^x，
∴曲线C：y=e^x在点P（1，e）处的切线方程为y-e=e（x-1），即y=ex．
此切线与x轴的交点Q₁的坐标为（0，0），
∴点P₁的坐标为（0，1）．    
∵点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
∴曲线C：y=e^x在点P_n（x_n，y_n）处的切线方程为y-exn=exn（x-x_n）
令y=0，得点Q_n+1的横坐标为x_n+1=x_n-1．
∴数列{x_n}是以0为首项，-1为公差的等差数列．
∴x_n=1-n，y_n=e^1-n（n∈N^*）．                  
（Ⅱ）∵|OP_i|²=xi2+yi2=（i-1）²+e^2（1-i）
∴

n

i=1

O

P

2 i

=|OP₁|²+|OP₂|²+|OP₃|²+…+|OP_n|²
=（0²+e⁰）+（1²+e^-2）+=（2²+e^-4）+…+（n-1）²+e^2（1-n）
=[1²+2²+…+（n-1）²]+[1+e^-2+e^-4+…+e^2（1-n）]
=

n(n-1)(2n-1)

6

+

1-e-2n

1-e-2

=

n(n-1)(2n-1)

6

+

e2n-1

e2n-2(e2-1)

点评：本题主要考查数列、导数等基础知识，考查有限与无限的数学思想与方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，本题解答中用到了高中数学不常用的结论1²+2²+…+（n-1）²=

n(n-1)(2n-1)

6

，此公式没有必要记忆，高考时基本不涉及