Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

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2

AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：DE⊥PC；
（III）求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证DE∥平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DE与平面PBC内一直线平行即可，易证四边形DCBE是平行四边形，则ED∥BC，而DE?面PBC，BC?面PBC，满足定理所需条件；
（II）欲证DE⊥平面PFC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证DE与平面PFC内两相交直线垂直，连接EC，由（I）知，CD∥AE且CD=AE，又AD=DC，则四边形ADCE是菱形，连接AC交DE于F，连接PF，则DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，满足定理所需条件，又∵PC?平面PFC，则DE⊥PC．
（III）根据面面垂直的判定定理可知平面PFC⊥平面BCDE，过点P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影，则∠PDH就是直线PD与平面BCDE所成的角，在Rt△PHF中，求出PH，在Rt△PHD中，求出此角的正弦值即可．

解答：证明：（I）∵E是AB的中点，∴BE=

1

2

AB，
又∵CD∥AB，DC=

1

2

AB，∴DC∥EB且DC=EB
∴四边形DCBE是平行四边形，∴ED∥BC
∵DE?面PBC，BC?面PBC，∴DE∥平面PBC．（4分）

（II）连接EC，据（I）知，CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．（8分）

（III）∵DE⊥平面PFC，DE?平面BCDE，
∴平面PFC⊥平面BCDE，且两平面交于AC，
过点P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影，
∴∠PDH就是直线PD与平面BCDE所成的角．（11分）
由（II）知，∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角，∴∠PFC=120°，∴∠PFA=60°．
设AD=AE=BC=DE=a，则AF=PF=

3

2

a
在Rt△PHF中，PH=PF•sin60°=

3

4

a
∴在Rt△PHD中，sin∠PDH=

PH

PD

=

3

4

（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．