Question

已知P是圆x²+y²=9，上任意一点，由P点向x轴做垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且

PM

=2

MQ

，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（0，-2）的直线l与曲线C相交于A、B两点，试问在直线y=-

1

8

上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形，若存在求出N点坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），则可设P（x，y₀），Q（x，0），根据又

PM

=2

MQ

，可确定y₀=3y，进而可知点P的坐标代入圆的方程，求得曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线与椭圆方程联立消y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理分别求得x₁+x₂，x₁x₂和y₁y₂，根据

OA

⊥

OB

，判断出x₁x₂+y₁y₂=0，求得k，再由矩形对角线互相平分求得y_N和x_N，进而判断所以存在这样的点使得四边形OANB为矩形．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则可设P（x，y₀），Q（x，0），又

PM

=2

MQ

，
∴y₀=3y，
∴P（x，3y）代入圆方程x²+y²=9，得曲线C的方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）由已知知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线与椭圆方程联立消y，
得（1+9k²）x²-36kx+27=0，
△=（36k）²-4×27（9k²+1）＞0，k2＞

1

3

，
x1+x2=

36k

1+9k2

，x1x2=

27

1+9k2

，
y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=

4-9k2

1+9k2

，
若四边形OANB为矩形，则

OA

⊥

OB

，
所以x1x2+y1y2=

27

1+9k2

+

4-9k2

1+9k2

，=0，k2=

31

9

＞

1

3

，
所以k=±

31

3

，由矩形对角线互相平分，
得y_N=y1+y2=

36k2

1+9k2

-4=

36× 31 9

1+9× 31 9

-4=-

1

8

，
xN=x1+x2=±

3 31

8

，
所以存在这样的点N(

3 31

8

，-

1

8

)或N(-

3 31

8

，-

1

8

)、使得四边形OANB为矩形．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，对于平面几何、韦达定理等知识都有涉及，综合性很强．