题目内容

已知函数f(x)=cos2
x
2
-sin2
x
2
+sinx．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当x0∈(0，
π
4
)且f(x0)=
4
2
5
时，求f(x0+
π
6
)的值．
分析：利用二倍角公式化简cos2
x
2
-sin2
x
2
为cosx，再用两角和的正弦公式化函数cosx+sinx为
2
sin(x+
π
4
)．
就是函数f（x）为
2
sin(x+
π
4
)（I）直接求出函数的周期；
（II）由f(x0)=
4
2
5
求得x0∈(0，
π
4
)，求出cos(x0+
π
4
)利用
2
sin(x0+
π
4
+
π
6
)=
2
sin[(x0+
π
4
)+
π
6
]
然后求出f(x0+
π
6
)的值．
解答：解：由题设有f（x）=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)．
（I）函数f（x）的最小正周期是T=2π．
（II）由f(x0)=
4
2
5
得
2
sin(x0+
π
4
)=
4
2
5
，即sin(x0+
π
4
)=
4
5
，
因为x0∈(0，
π
4
)，所以x0+
π
4
∈(
π
4
，
π
2
).
从而cos(x0+
π
4
)=
1-sin2(x0+
π
4
)
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
.
于是f(x0+
π
6
)=
2
sin(x0+
π
4
+
π
6
)=
2
sin[(x0+
π
4
)+
π
6
]=
2
[sin(x0+
π
4
)cos
π
6
+cos(x0+
π
4
)sin
π
6
]=
2
(
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2
)=
4
6
+3
2
10
.
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，考查学生分析问题解决问题的能力．是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=(1， sinA)与向量
n
=(2，sinB)共线，求a，b．
（2013•松江区二模）已知函数f(x)=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（　　）
已知函数f(x)=
(
1
2
)x-1，x≤0
ln(x+1)，x＞0
，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（　　）
已知函数f(x)=
(c-1)2x，(x≥1)
(4-c)x+3，(x＜1)
的单调递增区间为（-∞，+∞），则实数c的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
x2-ax+5，x＜1
1+
1
x
，x≥1
在定义域R上单调，则实数a的取值范围为（　　）

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